une fonction de la
variable 
(pour nous,
électroniciens, ce sera le temps) définie pour 
Transformée de
Laplace (1) 2 3 4 5 6 7
Nous avons vu que les développements en série de Fourier des fonctions périodiques permettaient d'effectuer des calculs sur des signaux périodiques de forme quelconque. C'était l'objet de l'analyse harmonique.
La transformée de Laplace, quant-à elle, permet de faire des calculs sur des signaux de forme quelconque non périodiques, en particulier des signaux dit impulsionnels. C'est l'objet du calcul opérationnel. Dans le domaine de l'électronique nous serons ainsi amenés à définir des impédances et des fonctions de transfert opérationnelles, de la même manière que nous avions défini des impédances complexes, afin de calculer la réponse impulsionnelle à ces signaux.
Nous pouvions déjà déterminer ces réponses en résolvant des équations différentielles comme nous l'avons fait dans le cas de la charge d'un condensateur avec une résistance. Mais pour des circuits plus complexes, et donc des équations différentielles plus complexes (d'ordre supérieur à 2) la résolution directe n'est plus envisageable alors que le passage par la transformée de Laplace le permet, en remplaçant la résolution des équations différentielles par un simple calcul algébrique.
Soit une fonction de la
variable (pour nous,
électroniciens, ce sera le temps) définie pour
La transformée de Laplace de la fonction est notée 
et vaut:
étant un instant aussi proche
de zéro qu'on veut mais antérieur à 
avec 
Remarques:
Rien de bien méchant, l'intégrale on connait, l'exponentielle
aussi... ça a un petit air de transformée de Fourier... en remplaçant 
par 
et avec des bornes d'intégration différentes.
Les transformées de Laplace concernent ce qui se passe APRES
l'instant .
peut aussi être un nombre
complexe.
(Fonction unité ou de Heaviside) La fonction Echelon (ou unité) se note aussi 
avec 
 |
L'impulsion de Dirac, (on dit aussi « un Dirac » et ce n'est pas à
proprement parler une fonction) notée 
est la limite
lorsque 
tend vers 0 de la fonction
rectangulaire (un top) de durée et
de hauteur 
(la surface 
=1 restant constante et valant 1, sa hauteur tend
vers l'infini pour une durée nulle, une sorte de laser
méga-watt-femto-seconde...)
 |
Démonstration:
en effet 
Démonstration de cette limite:
et donc, en cuisinant un peu les signes:
Comme vous le voyez, le calcul de la transformée de Laplace de
l'impulsion de Dirac n'est pas tout simple lorsqu'on entre dans le
détail, mais le résultat, lui, est on ne peut plus simple!