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Il existe une autre forme de développement d'une fonction en
série de Fourier: le développement en série de
Fourier complexe,
dite aussi sous « forme exponentielle »
Nous avons vu que lorsqu'une fonction est paire (ou impaire), son développement en série de Fourier réelle ne comporte que des termes en cosinus (ou respectivement en sinus). Toutefois certaines fonctions, bien que périodiques, ne sont ni paires ni impaires, et dans ce cas il y a à la fois des termes en sinus et en cosinus. Il est alors plus simple pour ces fonctions de calculer le développement en série de Fourier complexe. On en déduit ensuite simplement les coefficients de la transformée réelle.
Mais commençons par calculer les coefficients complexes 
Procédons d'une manière analogue à celle
utilisée pour le calcul des coefficients réel, à
savoir l'intégration sur une période du produit de 
par (en l'occurrence) une exponentielle complexe de la
fréquence concernée (avec un petit signe - pour que
ça marche du premier coup! ce qui revient en fait à
diviser...):
soit donc la période 
telle que 
comme vu à maintes reprises.
La somme comprend toutes les fréquences multiples de 
(c'est à dire les fréquences 
) alors que nous multiplions l'ensemble par une seule
fréquence 
or
et en particulier:
Notre intégrale devient:
Donc dans le cas où 
l'intégrale
est nulle.
Mais ce n'est pas le cas si 
:
Nous en déduisons la valeur des coefficients
Rappelons que 
Remarque:
est donc la valeur moyenne de la fonction.
| DSF réelle | DSF complexe |
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Nous en déduisons les relations suivantes:
Et dans l'autre sens:
