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soit 
Si la sortie n'est pas chargée (aucune charge connectée en sortie,
ou une charge de très grande impédance qui ne perturbe pas le filtre)
le courant 
est le même dans la
résistance et le condensateur. De ce point de vue, ces deux éléments
sont connectés en série et dans ce cas on peut ADDITIONNER leurs
impédances complexes afin de connaître l'impédance équivalente vue de
l'entrée qui est donc égale à 
On peut alors calculer le courant
en fonction de la tension appliquée 
La tension de sortie du filtre, 
qui est la tension aux bornes du condensateur, est égale au produit de
ce courant par l'impédance complexe du condensateur:
La fonction de transfert complexe T du filtre est égale au rapport
de 
Afin de simplifier grandement les formules, pose 
C'est ce qu'on appelle normaliser les formules, qui deviennent
universelles pour un type donné de circuit, les valeurs des composants
n'apparaissant plus directement.
Remarque: on peut vérifier que RC est bien homogène à un temps, et 1/RC
est bien homogène à une fréquence (l'inverse d'un temps)
Nous obtenons:
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Dans la fonction de transfert complexe il apparaît ω mais pas ω² ni des puissances supérieures de ω, c'est pour cela que cette fonction est dite du premier ordre.
Module de cette fonction de transfert:
rappel:
si 
alors module 
argument 
Tracé du module de la fonction de transfert - échelles
linéaires:
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En abscisses ω/ω0 pour ω/ω0 =1 on lit T=0.707... (voir pourquoi ci-dessous) Cette courbe de réponse se trace habituellement avec une échelle logarithmique pour ω/ω0, sur laquelle apparaissent de nouvelles propriétés (droite, pente -6dB/ octave = -20dB / décade, au delà de la fréquence de coupure) Je publierai ça prochainement. On voit pourquoi ce filtre est appelle filtre passe-bas. |
Fréquence de coupure à -3dB:
pour 
nous avons:
Calcul du gain en tension (ici = atténuation) pour 
Rappel: par définition le gain en tension est égal, en décibels, à 
on vérifie que 
et donc 
Argument de la fonction de transfert:
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La pente de la courbe au delà de la fréquence de coupure ω =ω0 est égale à -20dB par décade. Ce tracé a été effectué avec le logiciel libre GNUplot. En voici le listing: #courbe filtre RLC passe bas du premier ordre set samples 1000 set xrange [0.01: 200] set yrange [-50: 5] set logscale x set grid f1(x)=20*log10 (1/sqrt( 1+x**2)) plot f1(x) with lines lt 3 |