Intégration

Intégrale définie

Je vous propose une approche intuitive de la notion d'intégration et du lien entre fonction primitive et fonction dérivée, sous forme graphique puis analytique.

Soit donc dans un repère cartésien orthonormé la courbe représentative d'une fonction presque quelconque, plus précisément d'une fonction de la variable , définie et continue entre les valeurs     et    

Considérons la surface S^b_a (en jaune) située sous la fonction, c'est à dire l'espace délimité par la courbe représentative de cette fonction, l'axe des abscisses et les droites parallèles à l'axe des ordonnées délimitant l'intervalle des compris entre et

Cette surface peut être découpée en fines tranches verticales de surface comprises entre les valeurs de et

Considérons une de ces tranches (en orange)

Lorsque tend vers 0 nous écrirons

Lorsque la largeur de la tranche tend vers 0, c'est à dire lorsque tend vers alors tend vers puisque la fonction est continue, et la surface tend vers 0 certes, mais plus précisément vers un rectangle de surface

Nous pouvons écrire:

La valeur de la surface S^b_a est la somme de toutes ces minces tranches juxtaposées comprises entre et

Si les tranches ont une largeur non nulle est sont en nombre limité, nous pouvons écrire:

Pour une fonction « en escalier » (succession de segments horizontaux) ce calcul peut convenir. Mais pour une fonction continue d'une variable réelle, ce n'est plus le cas. Il faut pousser le raisonnement à sa limite:

Lorsque nous faisons tendre la largeur des tranches vers 0, leur nombre tend vers l'infini, ce qui ne change pas leur somme qui vaut toujours S, mais la précision augmente d'autant plus que nous approchons de cette limite (les « haut » des tranches s'approche de plus en plus d'un segment horizontal, donc la forme des tranches s'approche de plus en plus du rectangle de surface ). Nous utiliserons alors une nouvelle notation, celle de l'intégrale définie:

Remarque: S^b_a n'est pas une fonction mais une valeur constante.

Intégrale indéfinie et fonction primitive

Considérons maintenant une valeur arbitraire de située à gauche de et définissons une fonction de la variable , qui donne la valeur de la surface sous la courbe pour toute valeur de depuis

De même:

En effet, le deuxième terme de cette avant dernière ligne, soit n'étant qu'une « tranche unique » de surface entre et ...

Donc:

La fonction est donc la fonction dérivée de la fonction , et donc, réciproquement, la fonction telle que nous l'avons définie plus haut est une primitive de (primitive au sens justement que la dérivée donne la fonction). C'est une primitive au même titre que toutes les fonctions (le terme s'annulant lors de la dérivation).

Remarquons maintenant que la fonction

est également une primitive de et n'en diffère donc que d'un terme

Nous en déduisons que

Il devient ainsi inutile de préciser le point (ou ou autre...) pris comme origine des pour obtenir ces primitives, et on définira l'ensemble des fonctions primitives de avec la notation:

Cette ensemble de fonctions primitives (on dit aussi « classe d'équivalence » des primitives) d'une fonction est aussi appelée intégrale indéfinie de .

Calcul de l'intégrale définie à partir de l'intégrale indéfinie:

soit donc une fonction et son intégrale indéfinie

Soit une de ces primitives

Nous avons:

Ce dernier résultat se déduit directement du graphique représentant les surfaces.

C'est un résultat très important qui montre que pour obtenir la valeur de l'intégrale définie entre deux points, il faut calculer la différence des valeurs que prend une primitive (n'importe laquelle) de cette fonction en ces points.

Exemple:

Calculons la valeur de l'intégrale définie

La fonction   admet comme primitive +k

il vient:

si toutefois je ne suis pas trompé!

On voit au passage que la terme s'annule, et donc que n'importe quelle primitive de la fonction fait l'affaire.

C'est pratique pour calculer des surfaces, mais pas seulement, des volumes aussi, des distances parcourues en chute libre, et... des intégrales de Fourier d'un signal périodique et autre transformées de Laplace.
Nous verrons cela prochainement.

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