On appelle équation différentielle linéaire du deuxième ordre toute équation de la forme:
où 
sont trois fonctions continues
et 
(la dérivée de la fonction
dérivée)
Si u est la fonction nulle, l'équation est dite homogène.
On appelle équation différentielle linéaire
homogène du deuxième ordre à coefficients constants
toute équation de la forme:
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Nous allons tout d'abord traiter le cas particulier de l'équation
suivante, ne faisant pas apparaître 
mais seulement mais seulement la fonction 
et sa dérivée seconde 
:
 |
c'est à dire 
nous savons que 
et que 
donc 
Nous voyons que nous sommes très près du résultat.
Essayons la fonctions composée 
:
La fonction 
est donc solution de
l'équation différentielle du second ordre
Oui mais... La fonction 
est
aussi solution de cette équation différentielle:
et plus généralement les fonctions
sont donc solutions de cette
équation différentielle.
en outre la fonction 
est donc
aussi une solution:
est donc aussi solution de cette équation différentielle.
rappel:
est la forme exponentielle d'un
nombre complexe 
dont 
est le module (longueur
distance au point 0) et 
l'argument
(l'angle)
avec dans notre cas 
-Les électroniciens rencontrerons plus précisément 
avec 
-La fonction 
est équivalente à 
avec 
(voir la démonstration)
-L'ensemble des solutions de l'équation différentielle représente donc l'ensemble des nombres
complexes, c'est à dire le plan complexe. Les mathématiciens diront que
l'ensemble des solutions forme un espace vectoriel de dimension deux,
un plan vectoriel.
Si on connaît deux solutions qui forment un système libre (toute
combinaison linéaire nulle de ces vecteurs implique la nullité des deux
coefficients), alors ces deux solutions forment une base du plan
vectoriel et la solution générale est la combinaison linéaire des deux
solutions qui forment la base: 
Dans notre cas, 
et 
forment une telle base.
en effet 
, 
Démonstration:
considérons l'expression 
signifie que nous pouvons
prendre le cas 
:
donc 
implique que 
signifie que nous pouvons
également considérer le cas 
:
En conclusion implique que 
doivent être nuls tous les deux.
et 
forment donc un système libre.
Et puisque et sont toutes deux solution de l'équation , alors ces deux solutions forment une
base du plan vectoriel.
La solution générale de l'équation
est donc la combinaison linéaire:
équation différentielle linéaire homogène du deuxième ordre à coefficients constants
L'équation du second degré:
est appelée équation caractéristique de l'équation différentielle homogène.
Soit 
le déterminant de l'équation
caractéristique
Trois cas se présentent:
:l'équation caractéristique
admet deux racines réelles distincte
alors: 
l'équation caractéristique
admet une seule racine réelle (dite « double »)
alors: 
l'équation caractéristique
admet deux racines complexes distinctes et conjuguées 
et 
alors: 
(une sinusoïde
croissante ou décroissante)
Développons le cas 3:
racines de 
racines complexes de l'équation caractéristique:
posons 
Les solutions de l'équation différentielle 
forment la combinaison linéaire suivante
autre forme équivalente:
Prenons
qui sont deux solutions réelles indépendantes comme base de l'espace vectoriel des solutions
La combinaison linéaire formant l'ensemble des solutions devient:
