Dérivée des fonctions trigonométriques

Rappel de quelques limites dont nous allons avoir besoin:

Si ces deux limites sont évidentes, il n'en est pas de même de

puisque et tentent toutes deux vers 0, leur quotient direct est indéterminé.

On peut toutefois calculer cette limite par la méthode géométrique dite « des aires »

sur cette figure représentant le cercle trigonométrique de rayon unité, nous avons:

Le triangle OAC a comme aire:

Le secteur circulaire OAC (délimité par les rayons OA et OC et l'arc (courbe) AC) a comme aire:

Le triangle OAD a comme aire:

Nous voyons que quel que soit l'angle compris entre 0 et pi/2 (90 degrés), l'aire du secteur circulaire est TOUJOURS plus grande que celle du petit triangle, tout en étant TOUJOURS plus petite que celle du grand triangle.

On peut donc écrire l'inégalité suivante (on appelle cela un encadrement):

Or nous savons que

et donc:

Lorsque nous voyons que

se trouve encadrée entre 1 et 1.

Nous en déduisons bien volontiers, sans qu'un gendarme ne nous y oblige, que

et en prenant l'inverse:

=1

   

On peut aussi s'en convaincre (mais ce n'est pas une démonstration) en traçant la fonction avec le logiciel libre Kmplot::

Fonction y = sin(x)/x :

De même calculons une autre limite importante dont nous allons avoir besoin:

La démonstration est affaire de cuisine,

sachant que

Nous obtenons un produit de trois facteurs dont les limites respectives sont faciles à calculer:

(1)

donc:

(2)

et:

(3)

Nous obtenons la limite recherchée:

On peut aussi s'en convaincre (mais ce n'est pas une démonstration) en traçant ces fonctions avec le logiciel libre Kmplot:

Arrivés à ce stade nous disposons des outils permettant de calculer les dérivées des fonctions trigonométriques:

Dérivée des fonctions

De même on démontre que: