soit la fonction
| y=f(x) =x |
calculons sa dérivée
Arrivé à ce stade du calcul il y a deux façons d'opérer: la bonne et la mauvaise.
Voyons tout d'abord la mauvaise: elle consiste à faire tendre tout
de suite 
vers 
ce qui revient à annuler le numérateur ET le dénominateur
simultanément. On se retrouve alors avec la fraction 
qui n'est pas calculable (on l'appelle
d'ailleurs indéterminée). En effet quel que soit 
,
est égal à 0, alors que,
d'autre part, quel que soit a, 
n'est
pas calculable sachant toutefois que lorsque le dénominateur d'une
fraction tend vers 0, le résultat tend vers 
(l'infini). Entre 0 et il
y a de la marge, il y a en fait la place pour n'importe quelle valeur
réelle.
Voyons maintenant la bonne façon de procéder, (qu'il faudra
TOUJOURS appliquer): Elle consiste à remarquer que la même valeur 
se retrouve au numérateur et au
dénominateur. On peut donc tout à fait simplifier par cette valeur, (on
divise le numérateur et le dénominateur par cette valeur NON NULLE , non nulle tant qu'on considère 
) et on obtient pour résultat:
Et la limite de 1 lorsque 
c'est... 1 quel que soit .
On écrira:
Nous obtenons donc comme fonction dérivé de la fonction 
qui pour tout renvoie sa propre valeur ,
la fonction 
qui pour tout renvoie la valeur 1. C'est une fonction
constante. Elle indique que la pente de la courbe d'équation 
est constante ce qui n'est pas étonnant
puisque la courbe en question (dans le plan affine rapporté à un repère
orthonormé) est une droite (passant par 0).
Je suis entré dans les détails pour ce premier calcul, on va
maintenant passer la seconde vitesse.
soit la fonction
avec a = nombre constant, réel.
Et voilà. Au passage on va utiliser une notation pas très rigoureuse non plus, mais pratique et généralement admise:
(du produit d'une fonction par une constante)
Nous pouvons utiliser ce résultat pour retrouver la dérivée de 
sachant que nous connaissons la dérivée
de qui vaut 1.
la calcul est simple:
à ne pas confondre avec le produit d'une fonction avec une constante comme vu plus haut.
soit 
Astuce: ajoutons la quantité nulle -
au numérateur (ce qui ne change rien donc):
Ce qui s'écrit:
C'est un résultat important qu'on appliquera souvent. A commencer
par tout de suite!
soit la fonction composée 
notée également 
comme par exemple 
dans laquelle 
et 
Calculons le nommbre dérivé de la fonction 
au point 
Pour une bonne lisibilité des calculs nous utiliserons la notation suivante:
Appliquons cette définition à notre fonction composée:
Astuce: posons 
en remarquant que
ce qui donne u(a+h)=u(a)+k
reportons cette valeur dans le calcul de A
multiplions numérateur et dénominateur par 
Ce résultat nous servira (entre autre) pour démontrer la propriété fondamentale de la fonction logarithme népérien qui consiste à remplacer des multiplications pas des additions.
Ce qui s'écrit:
C'est simple sous cette forme n'est-ce pas? à comparer à ceci:
On retrouve bien sûr le même résultat.
Ce qui s'écrit:
utilisons la dérivée d'un produit de fonctions:
Ce qui s'écrit:
exemple: la dérivée de 
est 
C'est aussi un résultat très important.
Récapitulons:
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2 |
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Ce n'est pas compliqué, il suffit de lire le tableau à l'envers
Les (+k) traduisent le fait que la dérivation de la constante (qui donne 0) ne change pas le résultat
puis en ajustant les constantes afin de trouver le résultat qui nous intéresse:
AVEC 
Ce n'est pas un parachutage, il suffit de dériver 
pour retrouver
Remarque: limite de cette formule:
On ne peut pas calculer la primitive de 
par cette formule, on bute sur un zéro au dénominateur ce
qui est interdit, est donne une limite au domaine d'application de la
formule comme indiqué plus haut,
Mais d'autres valeurs négatives pour 
sont-elles permises ? Oui, tout à fait, par exemple
Autre exemple:
Fonction logarithme népérien
Remarque: Aucune de ces fonctions
, quel que soit n positif ou négatif différent de 1 ne donne 
= 
comme fonction dérivée. Aucune n'est la primitive de
en effet si on fait n=0 dans la formule de la dérivation ci-dessous
on obtient bien -1 comme puissance, mais multipliée par 0
ce qui ne fait visiblement pas
la fonction mais une constante
nulle, 0.
Mais alors, que vaut la primitive de ? Ce n'est pas une puissance de 
.
Il faut l'inventer! (enfin d'autre l'ont fait avant nous). On l'appellera la fonction logarithme népérien.
On posera par définition:
et on ajoutera: celle qui s'annule pour 
(oui parce que toute fonction semblable qui n'en diffère que
par l'ajout d'une constante est également primitive de )
Alors, c'est pas beau les maths? L'imagination permet de contourner bien des obstacles.
On étudiera cette fonction et sa réciproque l'exponentielle la
prochaine fois.
Note: historiquement la fonction logarithme était connue par ses
propriétés (le remplacement des multiplications par des additions comme
on le verra) avant d'être définie comme l'intégrale de 1/x. Voir ce
lien externe: