Forme exponentielle des nombres complexes

soit le nombre complexe

écrivons le

où est la fonction exponentielle de base

Justification de cette écriture:

nous avons vu que

or le produit sous la forme exponentielle donne:

ce qui est bien la représentation exponentielle de

En outre , on a:

de même

Ces propriétés justifient la notation

En électronique, on utilisera le plus souvent les nombres complexes sous cette forme exponentielle.

ATTENTION: en électronique on désigne le nombre imaginaire par la lettre pour ne pas confondre avec le i de intensité (le nombre d'ampères).

En particulier une tension sinusoïdale

de pulsation

d'amplitude E

et de phase s'écrira:

On représente les grandeurs (tension, intensité) constantes par des lettres majuscules et les grandeurs instantanées par des lettres minuscules.

Impédance complexe du condensateur:

soit (on considère que la phase )

Les lois élémentaires de l'électricité donnent:

(la quantité d'électricité (en Coulombs) dans le condensateur est égale au produit de la tension aux bornes par la valeur du condensateur (en Farads))

dérivons cette expression:

or nous savons que

(t est le temps)

donc

en en déduit:

Vous voyez tout le cheminement indispensable que nous avons du faire pour arriver à ce résultat essentiel: obtenir une représentation mathématique d'un composant électronique réactif. Le condensateur, au contraire de la résistance, est parcouru par un courant qui est en quadrature de phase avec la tension présente à ses bornes. Et c'est justement ce comportement complexe qui est compris dans cette formule.

On l'appelle impédance complexe du condensateur.

La prochaine fois nous calculerons l'impédance complexe de l'inductance puis nous les associerons pour voir comment se comporte mathématiquement l'ensemble.

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