Soit le circuit ci_contre
constitué d'une source de tension continue de valeur E„ d'une
résistance R, d'un condensateur C et d'un interrupteur.
résistance R, d'un condensateur C et d'un interrupteur.
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Soit le circuit ci_contre
constitué d'une source de tension continue de valeur E„ d'une
résistance R, d'un condensateur C et d'un interrupteur. |
Avant l'instant t=0 on considère que l'interrupteur est
ouvert et
que le condensateur est totalement déchargé (
).
A l'instant t=0 on ferme l'interrupteur.
Que se passe t-il alors? Puisque la
totalité de la tension se retrouve aux bornes de la résistance et un
courant s'établit donc avec une intensité égale à 
Le condensateur commence donc à se charger, la quantité d'électricité qu'il contient augmente suivant la loi
la tension 
à ses bornes
augmente
en proportion, suivant la loi
La tension augmente semble-il proportionnellement au temps.
Seulement ce calcul n'est valable qu'à l'instant 
En effet dès que la tension
augmente, la tension aux bornes de la résistance, qui est égale à 
diminue, et par conséquence le courant 
diminue lui aussi. Et donc augmente moins vite. Et de moins en moins
vite...
Comment calculer de quelle manière varie se courant et cette tension en fonction du temps?
En résolvant une EQUATION DIFFERENTIELLE.
En fait il ne faut pas écrire 
mais considérer les petites variations de 
qu'on appellera 
lorsque
le temps augmente d'une toute petite quantité 
et faire tendre ces quantité vers 0.
on écrira
de même pour la tension en fonction de la charge:
ce qui nous donne:
Nous pouvons également écrire une deuxième équation qui lie tension et intensité (loi d'ohm dans la résistance)
En rapprochant ces deux équations, il vient:
Tiens il y a une fonction 
(t)
et
sa dérivée 
dans la même équation,
c'est une équation différentielle du premier degré.
Ecrivons-la sous une forme plus habituelle:
posons 
Résolvons l'équation sans second membre associée:
solution de cette équation sans second membre:
la solution générale de l'équation avec second membre devient:
Il s'agit maintenant de déterminer la valeur de la constante K
pour nous avons:
Or nous avons décidé comme condition initiale que au temps le condensateur était déchargé, donc que 
Nous pouvons donc écrire que 
donc 
La solution particulière de l'équation différentielle devient:
En conclusion:
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Voici L'allure de la tension en fonction du
temps.
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Cette méthode est applicable lorsqu'on a affaire à une équation différentielle du premier ordre dite à variables séparables, ce qui est le cas ici (on peut séparer les variables temps et tension de part et d'autre du signe égal)
Repartons de l'équation vue plus haut:
séparons les variables u et t
puis intégrons les deux membres:
l'intégrale de 1/x étant ln(x) il vient:
appliquons les conditions initiales: si alors 
pour trouver la
valeur de 
l'équation devient:
Nous trouvons le même résultat, comme c'est bizarre!