Soit le circuit ci-contre,
constitué par un condensateur, une self, et une résistance
constitué par un condensateur, une self, et une résistance
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Soit le circuit ci-contre,
constitué par un condensateur, une self, et une résistance |
On suppose le condensateur préalablement chargé par une tension E,
par un moyen qui n'est pas représenté ici. A l'instant 
on ferme l'interrupteur. Que se
passe-t-il?
S'il n'y avait pas l'inductance, le condensateur se déchargerait à travers la résistance suivant une courbe exponentielle décroissante. Mais l'inductance de la self va compliquer un peu les choses. Une oscillation peut apparaître...
Concernant le condensateur donc, nous pouvons écrire:
donc
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(1) |
et pour la résistance:
 Concernant la self nous avons:
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(2) |
Loi des mailles appliquée aux tensions:
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(4) |
Cuisinons tout ça (on pose 
afin
de ne pas traîner cet indice dans toutes les calculs)
(1) et (2) donnent:
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(5) |
(1) et (3) donnent:
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(6) |
avec 
plaçons (6) et (5) dans (4) pour obtenir une équation différentielle du second ordre:
que nous allons de suite normaliser:
on pose 
on remarque au passage que:
Notre équation différentielle s'écrit alors:
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son équation caractéristique est la suivante:
dont le voici le déterminant:
Pour la suite, certaines démonstrations ont été faites sur ma page
équations diff du deuxième ordre
Les racines de l'équation caractéristique sont réelles et valent:
La solution de l'équation différentielle est alors de la forme:
Le condensateur se décharge suivant une exponentielle décroissante,
sans oscillations.
Cas où m<1
Les racines de l'équation caractéristique sont imaginaires et conjuguées:
La solution de l'équation différentielle est alors de la forme:
En cuisinant un tout petit peu plus et en tenant compte
des conditions initiales, on trouve les valeurs de 
et de 
:
condition initiale: à t=0, 
)
D'où l'équation de la tension 
:
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En particulier pour 
nous
vérifions:
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 La tension vue à l'oscilloscope
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