La solution de cette équation différentielle est une combinaison linéaire de fonctions cosinus et sinus, donc dans le cas qui nous occupe on obtient un courant sinusoïdal et une tension également sinusoïdale, dont la phase et l'amplitude sont déterminés par les conditions initiales.
La résolution de cette équation différentielle est exposée ICI (Equations différentielles d'ordre 2)
Mais me direz-vous la nature sait-elle ce qu'est une équation différentielle du second ordre et comment fait-elle pour la résoudre lorsqu'elle n'a pas de papier et de crayon sous la main ? Nous nous avions trouvé la solution par... intuition, ayant l'habitude de manier des fonctions simples (sin et cos) et connaissant par coeur leurs fonctions dérivées. Ce qui nous avait de suite mis sur la voie d'une fonction sinusoïdale. Mais il serait quand même satisfaisant de voir surgir un sinus de ce circuit oscillant SANS JAMAIS utiliser la fonction sinus, ni aucune fonction d'ailleurs, dans un programme informatique qui se contenterait de calculer point par point l'évolution du courant et de la tension à partir de l'instant où l'on connecte un condensateur préalablement chargé aux bornes de la self. Et il serait encore bien plus satisfaisant de voir que cela se produit avec quelques lignes de code (en C++) que nous écrivons nous même. (Bien sûr il existe des programmes de simulation numérique qui font ça très bien mais le faire soit même avec quatre ou cinq lignes de code, c'est quand même autre chose!!)
Eh bien C'EST CHOSE FAITE !
Je vous donne ci-dessous ces quelques lignes de code (c'est une boucle en fait, dans laquelle chaque passage représente le temps dt).